Question

点P（x，y）在第一象限，且x+y=10，点A的坐标为（8，0），设原点为O，△OPA的面积为S．（1）求S与x的函数

点P（x，y）在第一象限，且x+y=10，点A的坐标为（8，0），设原点为O，△OPA的面积为S．（1）求S与x的函数关系式，写出x的取值范围，画出这个函数图象；（2）当S=12时，求点P的坐标；（3）△OPA的面积能大于40吗？为什么？

Answer 1

（1）∵A和P点的坐标分别是（8，0）、（x，y），
∴△OPA的面积=

1

2

OA?|y_P|，
∴S=

1

2

×8×|y|=4y．
∵x+y=10，∴y=10-x．
∴S=4（10-x）=40-4x；
∵S=-4x+40＞0，
解得：x＜10；
又∵点P在第一象限，
∴x＞0，
即x的范围为：0＜x＜10；
∵S=-4x+40，S是x的一次函数，
∴函数图象经过点（10，0），（0，40）．
所画图象如下：


（2）∵S=-4x+40，
∴当S=12时，12=-4x+40，
解得：x=7，y=3．
即当点P的坐标为（7，3）；

（3）△OPA的面积不能大于40．理由如下：
∵S=-4x+40，-4＜0，
∴S随x的增大而减小，
又∵x=0时，S=40，
∴当0＜x＜10，S＜40．
即△OPA的面积不能大于40．

Answer 2

（1）S=40﹣4x,
0＜x＜10,图象见解析；（2）（7，3）；（3）△OPA的面积不能大于40,证明见解析．
试题分析：（1）根据三角形的面积公式△OPA的面积=
OA?|y
p
|列式，即可用含x的解析式表示S=40﹣4x，然后根据S＞0及已知条件，可求出x的取值范围，根据一次函数的性质和x的取值范围可画出函数S的图象；（2）将S=12代入求得的函数的解析式，然后求得x、y的值，从而求得点P的坐标；（3）根据一次函数的性质及自变量的取值范围即可判断．
试题解析：（1）∵A和P点的坐标分别是（8，0）、（x，y），
∴△OPA的面积=
OA?|y
p
|，
∴S=
×8×|y|=4y,
∵x+y=10，
∴y=10﹣x,
∴S=4（10﹣x）=40﹣4x,
∵S=﹣4x+40＞0，
x＜10,
又∵点P在第一象限，
∴x＞0，
即x的范围为：0＜x＜10,
∵S=﹣4x+40，S是x的一次函数，
∴函数图象经过点（10，0），（0，40）,
所画图象如下：
（2）∵S=﹣4x+40，
∴当S=12时，12=﹣4x+40，
解得：x=7，y=3,
即当点P的坐标为（7，3）；
（3）△OPA的面积不能大于40．理由如下：
∵S=﹣4x+40，﹣4＜0，
∴S随x的增大而减小，
又∵x=0时，S=40，
∴当0＜x＜10，S＜40,
即△OPA的面积不能大于40．