Question

如图已知△ABC内，P、Q分别在BC，CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线．（1）若∠BAC=60°，∠AC

如图已知△ABC内，P、Q分别在BC，CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线．（1）若∠BAC=60°，∠ACB=40°，求证：BQ+AQ=AB+BP；（2）若∠ACB=α时，其他条件不变，直接写出∠BAC=______时，仍有BQ+AQ=AB+BP．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-60°-40°=80°，
∵BQ平分∠ABC，
∴∠CBQ=

1

2

∠ABC=

1

2

×80°=40°，
∴∠CBQ=∠ACB，
∴BQ=CQ，
∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①，
过点P作PD∥BQ交CQ于点D，
则∠CPD=∠CBQ=40°，
∴∠CPD=∠ACB=40°，
∴PD=CD，∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°，
∵∠ABC=80°，
∴∠ABC=∠ADP，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵在△ABP与△ADP中，

∠ABC＝∠ADP ∠BAP＝∠CAP AP＝AP

，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB=AD，BP=PD，
∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②，
由①②可得，BQ+AQ=AB+BP；

（2）解：根据（1）的证明可知，只要满足∠ABC=2∠ACB即可使原结论仍然成立，
∵∠ACB=α，
∴∠ABC=2α，
∴∠BAC=180°-3α．
故答案为：180°-3α．