Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE ∥ BC，将△ADE沿DE折起到△A

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE ∥ BC，将△ADE沿DE折起到△A 1 DE的位置，使A 1 D⊥CD，如图2．（1）求证：BC ∥ 平面A 1 DE；（2）求证：BC⊥平面A 1 DC；（3）当D点在何处时，A 1 B的长度最小，并求出最小值．

Answer 1

（本小题共14分） （1）证明：∵DE ∥ BC，DE?面A 1 DE，BC?面A 1 DE ∴BC ∥ 面A 1 DE…（4分） （2）证明：在△ABC中，∠C=90°，DE ∥ BC， ∴AD⊥DE∴A 1 D⊥DE． 又A 1 D⊥CD，CD∩DE=D，∴A 1 D⊥面BCDE． 由BC?面BCDE， ∴A 1 D⊥BC．BC⊥CD，A 1 D∩CD=D， ∴BC⊥面A 1 DC．…（9分） （3）设DC=x则A 1 D=6-x由（Ⅱ）知，△A 1 CB，△A 1 DC均为直角三角形． A 1 B= A 1 C 2 +B C 2 = A 1 D 2 +D C 2 +B C 2 ，即 A 1 B= x 2 + 3 2 + (6-x) 2 = 2 x 2 -12x+45 = 2(x-3 ) 2 +27 …（12分） 当x=3时，A 1 B的最小值是 3 3 ． 即当D为AC中点时，A 1 B的长度最小，最小值为 3 3 ．…（14分）