Question

正实数x，y，z满足9xyz+xy+yz+zx=4，求证：（1）xy+yz+zx≥43；（2）x+y+z≥2

正实数x，y，z满足9xyz+xy+yz+zx=4，求证：（1）xy+yz+zx≥43；（2）x+y+z≥2．

Answer 1

证 （1）记t＝

xy+yz+xz 3

，∵x，y，z＞0．
由平均不等式xyz＝(

3	xy?yz?xz

)

3

2

≤(

xy+yz+zx

3

)

3

2

于是4=9xyz+xy+yz+xz≤9t³+3t²，
∴（3t-2）（3t²+3t+2）≥0，而3t²+3t+2＞0，
∴3t-2≥0，即t≥

2

3

．
∴xy+yz+zx≥

4

3

．
（2）又∵（x+y+z）²≥3（xy+yz+zx）=4，x，y，z＞0．
∴x+y+z≥2．