Question

如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已

如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。（1）求两星球做圆周运动的周期。（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T 1 。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T 2 。已知地球和月球的质量分别为5.98×10 24 kg和7.35 ×10 22 kg。求T 2 与T 1 两者平方之比。（结果保留3位小数）

Answer 1

解：（1）A和B绕O做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。因此有 ， 联立解得 ， 对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得 化简得 （2）将地月看成双星，由（1）得 将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得 化简得 所以两种周期的平方比值为