Question

（2012?惠安县质检）如图，在△ABC中，AB=AC=5，cosB=45，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作

（2012?惠安县质检）如图，在△ABC中，AB=AC=5，cosB=45，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B．（1）求证：△ABP∽△PCM；（2）当∠PAM为直角时，求线段BP．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠APM=∠B，
∴∠APM=∠B=∠C，
∵∠CMP=∠PAM+∠APM，∠BPA=∠PAM+∠C，
∴∠BPA=∠CMP，
∴△ABP∽△PCM；

（2）解：设BP=x，作AD⊥BC于D．
∵AB=AC=5，
∴BD=CD，
∵cosB=

4

5

，
∴

BD

AB

＝

4

5

，
∴BD=CD=4，
∴AD=3，
∵∠PAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠PAD=∠C，
又∵∠PAC=∠ADP，
∴△APD∽△CAD，
∴

PD

AD

＝

AD

CD

，
即

4?x

3

＝

3

4

，
解得：x=

7

4

，即BP=

7

4

．