Question

已知函数f（x）=-x2+ax+1-lnx．且在x=1处取得极值；（Ⅰ）求a的值；并求函数f（x）在点（2，f（2））处的

已知函数f（x）=-x2+ax+1-lnx．且在x=1处取得极值；（Ⅰ）求a的值；并求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）要使函数有意义，则x＞0．
函数的导数为f′(x)＝?2x+a?

1

x

，因为函数在x=1处取得极值，所以f'（1）=-2+a-1=0，解得a=3．
所以f（x）=-x²+3x+1-lnx，f′(x)＝?2x+3?

1

x

，
所以f（2）=-4+6+1-ln2=3-ln2，f′(2)＝?4+3?

1

2

＝?

3

2

，
所以函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y?(3?ln2)＝?

3

2

(x?2)，即y＝?

3

2

x+6+ln2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)＝?2x+3?

1

x

＝

?2x2+3x?1

x

，
由f′(x)＝

?2x2+3x?1

x

＞0，即2x²-3x+1＜0，解得

1

2

＜x＜1，
即函数的增区间为（

1

2

，1）．
由f′(x)＝

?2x2+3x?1

x

＜0，得2x²-3x+1＞0，解得0＜x＜

1

2

或x＞1，
即函数的减区间为（0，

1

2

）和（1，+∞）．