如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在AC上,点E在BC延长线上,CD=CE,BD的延长线交AE于点F,连CF,下

如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在AC上,点E在BC延长线上,CD=CE,BD的延长线交AE于点F,连CF,下列结论:①AE=BD;②FD2+FE2=... 如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在AC上,点E在BC延长线上,CD=CE,BD的延长线交AE于点F,连CF,下列结论:①AE=BD;②FD2+FE2=2CD2;③∠ACF=∠CBF;④FE+FD=2FC,其中一定成立的结论是(  )A.①②B.①②④C.①③④D.②③④ 展开
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小妍1ff
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知道答主
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①在△ACE和△BCD中,
AC=BC 
 ∠ACE=∠ACB  
CE=CD 

∴△ACE≌皮链△BCD(SAS),
∴AE=BD.烂羡
故①正确;
②连接ED,
∵△ACE≌△BCD,
∴∠EAC=∠EBF.∠AEB=∠BDC.
∵∠ADF=∠BDC,
∴∠AFD=∠ACB=90°.
∴ED2=DF2+EF2,CE2+CD2=ED2
∴FD2+FE2=CE2+CD2
∵CD=CE,
∴FD2+FE2=2CD2;故②正确.
③∵∠AFD=∠ACB=90°.
∴A、F、C、B四点共圆,
∴∠ACF=∠ABF.
∴只有当F是AE的中点时,∠ACF=∠CBF成立,其余情况都不成立,故③错误;
④延长FE至G,使EG=FD,连接CG,
∵∠FDC+∠BDC=180°,∠FEC+∠GEC=180°,且∠AEB=∠BDC,
∴∠FDC=∠GEC.
在燃历孙△CDF和CEG中,
FD=GE
∠FDC=∠GEC
DC=EC

∴△CDF≌CEG(SAS),
∴CF=CG,∠DCF=∠ECG,
∵∠DCF+∠FCE=90°,
∴∠GCE+∠FCE=90°,
即∠GCF=90°.
∴GF2=CF2+CG2
∴GF2=2CF2
∴GF=
2
CF,
∴GE+EF=
2
CF,
∴EF+FD=
2
CF故④成立.
∴成立的结论有①②④.
故选B.
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