Question

记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3=12，且2a1、a2、a3+1成等比数列，求Sn

Answer 1

等比则a2²=2a1(a3+1)
(a1+d)²=2a1(a1+2d+1)
d²=a1²+2a1d+2a1

S3=a1+a2+a3=3a1+3d=12
a1=4-d
代入
d²+d-12=0
d=-4,d=3
a1=8,a1=1
则a1=8,an=-4n+12
a1=1,an=3n-2

Sn=-2n²+10n或Sn=(3n²-3n)/2

Answer 2

等差数列an=a1+(n-1)*d 前n项和Sn=na1 + n*(n-1)*d/2=n(a1+an)/2
1.a3=12 知a1+d=4
2.a2^2=2a1*(a3+1) 知(a1+d)^2=2a1(a1+2d+1)
联立两式得到 a1=1，d=3或a1=8,d=-4
所以Sn=（3/2)n^2-(1/2)n或者Sn=-2n^2+10n

Answer 3

S3=12=3a2
a2=4
设公差为d
则a1=4-d，a3=4+d
2a1、a2、a3+1成等比数列
则4*4=2(4-d)*(4+d+1)
得d=3或者d=-4
当d=3时
a1=1
所以Sn=(n^2-n)/2
当d=-4时
a1=8
所以Sn=10n-2n^2