Question

请问矩阵的特征值的个数和什么有关

是不是一个矩阵的特征值的个数等于矩阵的阶数呢？

Answer 1

矩阵的秩与矩阵的特征值个数是没有关系的。
n阶矩阵在复数范围内，一定有n个特征值（重特征值按重数计算个数），从这个意义上说，矩阵的特征值个数与矩阵的阶数倒是有关系的。n阶矩阵在实数范围内有多少个特征值就不一定了。
但是有一个重要的结论需要知道：n阶实对称矩阵一定有n个实特征值（重特征值按重数计算个数）。
矩阵的秩与矩阵含有特征值0的个数却是有关系的，当你把概念理清以后是不难知道的。

追问

看了您的回答，还有一个疑问：“n阶矩阵在实数范围内有多少个特征值就不一定了。”和“n阶实对称矩阵一定有n个实特征值”。这两句话不矛盾么？希望老师稍微解释一下，谢谢。

如果不讨论复数范围，那么“矩阵的特征值的个数等于矩阵的阶数”这个命题是不是成立的呢

Answer 2

矩阵特征值的个数等于其阶数，因此有4个特征值
又有p-1ap=∧
，a与∧具有相同的秩，其中∧=diag（λ1，λ2，λ3，λ4）
r（a）=1，所以r（∧）=1
，可以判断矩阵a有3个为零的重根
∑λi=∑aii
，a11+a22+a33+a44=30
所以得到λ1=30