Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积 S= 3 16 ( b 2 + c 2

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积 S= 3 16 ( b 2 + c 2 - a 2 ) ．（1）求角A的正弦值；（2）若a=3，b＜c，S=6，D为△ABC内任意一点，且到三边距离之和为d．①求边b，c的长；②求d的取值范围．

Answer 1

（1）由条件，△ABC的面积 S= 3 16 ( b 2 + c 2 - a 2 ) ， 而b 2 +c 2 -a 2 =2bccosA， ∴ S= 3 8 bccosA …（3分） 又△ABC的面积 S= 1 2 bcsinA ， 3 4 cosA=sinA 由于sin 2 A+cos 2 A=1，所以 sinA= 3 5 ．          …（6分） （2）①由a=3，S=6，b 2 +c 2 =41 又 S= 1 2 bcsinA= 3 10 bc=6 ， ∴bc=20…（8分）∵b＜c， ∴b=4，c=5…（10分） ②由b=4，c=5，∵a=3，∴△ABC为直角三角形 建立如图所示的直角坐标系，则A（4，0），B（0，3） 设△ABC内任意一点D的坐标为（x，y）， 它到AB的距离为z， 则 S= 1 2 (3x+4y+5z)=6 ， 而 d=x+y+z= 12 5 + 1 5 (2x+y) …（12分） 由图知，（x，y）满足 x＞0 y＞0 3x+4y＜12 …（14分） 根据线性规划知识，得 12 5 ＜d＜4 ， 所以，d的取值范围为 ( 12 5 ，4) ．                 …（16分）