Question

若向量组a1，a2，a3线性无关，向量组a1，a2，a4线性相关，则向量组a1，a2，a3，a4的秩为（　　）A．1B．2

若向量组a1，a2，a3线性无关，向量组a1，a2，a4线性相关，则向量组a1，a2，a3，a4的秩为（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

结果为：3

∵ 向量组a1，a2，a3线性无关

∴向量组a1，a2，a3的秩为3

∵ 向量组a1，a2，a4线性相关

∴α4=λ1α1+λ2α2

∵ 向量组a1，a2，a3，a4可以转化为：（λ1+1）α1，（λ2+1）α2，α3

∵ 向量组a1，a2，a3的秩为3（λ1+1）α1，（λ2+1）α2，α3的秩为3

∴向量组a1，a2，a3，a4的秩为3

扩展资料

向量组秩的方法：

设OABC是不共面的四点 则对空间任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x,y,z)。

使得OP=xOA+yOB+zOC {OP,OA,OB,OC均表示向量} 说明：若x+y+z=1 则PABC四点共面 （但PABC四点共面的时候，若O在平面ABP内，则x+y+z不一定等于1，即x+y+z=1 是P.A.B.C四点共面的充分不必要条件）。

空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x.y,使　MP=xMA+yMB {MP MA MB 都表示向量}　或对空间任一定点O，有　OP=OM+xMA+yMB {OP,OM,MA,MB表示向量}。

向量组α1，α2，···，αs线性无关等价于R{α1，α2，···，αs}=s。若向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则R{α1，α2，···，αs}小于等于R{β1，β2，···，βt}。

等价的向量组具有相等的秩。若向量组α1，α2，···，αs线性无关，且可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则s小于等于t。

向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，且s>t，则α1，α2，···，αs线性相关。任意n+1个n维向量线性相关。

Answer 2

向量组a₁，a₂，a₃线性无关，故：
向量组a₁，a₂，a₃的秩为3，
向量组a₁，a₂，a₄线性相关，故：
α₄=λ₁α₁+λ₂α₂
而向量组a₁，a₂，a₃，a₄可以转化为：
（λ₁+1）α₁，（λ₂+1）α₂，α₃，
而向量组a₁，a₂，a₃的秩为3，
故（λ₁+1）α₁，（λ₂+1）α₂，α₃的秩为3，即
向量组a₁，a₂，a₃，a₄的秩为3，
故选择：C．