Question

若（ x + 1 2 4 x ） n （n∈N * ）展开式中前三项系数成等差数

若（ x + 1 2 4 x ） n （n∈N * ）展开式中前三项系数成等差数列，（1）求展开式中第4项的系数和二项式系数；（2）求展开式中的所有有理项．

Answer 1

（1）∵（ x + 1 2 4 x ） n （n∈N * ）展开式的通项公式T r+1 = C rn ?2 -r ? x n 2 - 3 4 r ， ∴前三项系数分别为：1， n 2 ， n(n-1) 8 ， ∵1， n 2 ， n(n-1) 8 成等差数列， ∴n=1+ n(n-1) 8 ， 解的n=8或n=1（舍去）， ∴展开式中第4项的系数为 C 38 ?2 -3 =56× 1 8 =7，展开式中第4项的二项式系数为 C 38 = 8×7×6 3×2×1 =56； （2）∵n=8， ∴T r+1 = C r8 ?2 -r ? x 4- 3 4 r （0≤r≤8）， 当r=0，4，8，时，4- 3 4 r为整数， ∴展开式中的所有有理项为：T 1 =x 4 ； T 5 = C 48 ?2 -4 ?x= 35 8 x；T 9 =2 -8 x -2 = 1 25 6x 2 ．