Question

(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.(

(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求四棱锥E-ABCD的体积V；(Ⅲ)求二面角E-AD-C的大小.

Answer 1

(1)略 (2) (3) 45°

解：(Ⅰ)∵E，F分别是PB，PC的中点 ∴EF∥BC      ……………………1分 ∵BC∥AD ∴EF∥AD      ……………………2分 ∵AD 平面PAD,EF 平面PAD ∴EF∥平面PAD ……………………4分 (Ⅱ)(法1)∵AP=AB,BP=2,AP⊥平面ABCD ∴AB=AP=    ……………………5分 ∵S矩形ABCD=AB·BC=2 ∴VP-ABCD= S矩形ABCD·PA= …6分 ∴V= VP-ABCD=   ………………8分 (Ⅱ)(法2)连接EA,EC,ED,过E作EG∥PA交AB 于点G 则EG⊥平面ABCD,且EG= PA ………5分 ∵AP=AB, PAB=90°,BP=2 ∴AP=AB= ,EG=       ………6分 ∵S矩形ABCD=AB·BC =2 ∴V= S矩形ABCD·EG =        ……………………8分 (Ⅲ)∵PA⊥平面ABCD ∴AD⊥PA ∵ABCD是矩形 ∴AD⊥AB ∵AP∩AB=A ∴AD⊥平面ABP ∵AE 平面ABP ∴AD⊥AE ∴∠BAE为所求二面角的平面角……11分 ∵△ABP是等腰直角三角形，E是PB中点 ∴所求二面角为45° ………………12分