Question

已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,离心率为 .(Ⅰ)求椭圆 的方程;(Ⅱ)设直线 与椭圆 交于 两点.

已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,离心率为 .(Ⅰ)求椭圆 的方程;(Ⅱ)设直线 与椭圆 交于 两点.若原点 在以线段 为直径的圆内,求实数 的取值范围.

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Answer 1

(Ⅰ) 椭圆 的方程为 (Ⅱ)

(I)因为b=1,所以根据离心率可建立关于m的方程，求出m值，进而确定椭圆标准方程. 依题意,可知 ,且 , 所以 , 所以 ,即椭圆 的方程为 .  ………………5分 （II）解本小题的突破口是设 ,则原点 在以线段 为直径的圆内 等价于说 ( 三点不共线)，也就等价于说 ,即 .然后再把直线方程与椭圆方程联立消去y，得到关于x的一元二次方程，借助韦达定理及判别式来解决即可. 设 ,则原点 在以线段 为直径的圆内 等价于说 ( 三点不共线) 也就等价于说 ,即 …① ……………7分 联立 ,得 , 所以 ,即 ……② 且 ………………………10分 于是 代入①式得, ,即 适合②式……………12分 又 ,所以解得 即求. …………………13分