Question

（2014?潮阳区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连AC、OC，

（2014?潮阳区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连AC、OC，若AC=PC，∠P=30°．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点M是AB的中点，连结BM，试证明∠BCM=∠MBA．（3）在（2）的条件下，若BC=2，求MN与MC的乘积．





Answer 1

（1）证明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P=30°，
而OC=OA，
∴∠A=∠OCA=30°，
∴∠POC=2∠A=60°，
∴∠OCP=180°-∠POC-∠P=180°-60°-30°=90°，
∴OC⊥PO，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵点M是

AB

的中点，
∴

AM

=

BM

，
∴∠BCM=∠MBA；
（3）连结AM，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠AMB=90°，
在Rt△ACB中，∠A=30°，BC=

2

，
∴AB=2BC=2

2

，
∵

AM

=

BM

，
∴AM=BM，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴BM=

2

2

AB=

2

2

×2

2

=2，
∵∠BCM=∠MBA，
而∠BMN=∠CMB，
∴△MBN∽△MCB，
∴MN：BM=BM：MC，
∴MN?MC=BM²=2²=4．