Question

（2013?铁岭）如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于

（2013?铁岭）如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．

Answer 1

解：（1）AF为圆O的切线，理由为：
连接OC，
∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠AOF=∠COF，
∵在△AOF和△COF中，

OA＝OC ∠AOF＝∠COF OF＝OF

，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF=90°，
则AF为圆O的切线；

（2）∵△AOF≌△COF，
∴∠AOF=∠COF，
∵OA=OC，
∴E为AC中点，即AE=CE=

1

2

AC，OE⊥AC，
∵OA⊥AF，
∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，
根据勾股定理得：OF=5，
∵S_△AOF=

1

2

?OA?AF=

1

2

?OF?AE，
∴AE=

12

5

，
则AC=2AE=

24

5

．