Question

已知f（x）=ax3+bx2+cx在区间[0，1]上是增函数，在区间（-∞，0），（1，+∞）上是减函数，又f′(12)＝32

已知f（x）=ax3+bx2+cx在区间[0，1]上是增函数，在区间（-∞，0），（1，+∞）上是减函数，又f′(12)＝32．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若在区间[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x成立，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx+c，由已知f'（0）=f'（1）=0，
即

c＝0 3a+2b+c＝0

解得

c＝0 b＝? 3 2 a

∴f'（x）=3ax²-3ax，
∴f′(

1

2

)＝

3a

4

?

3a

2

＝

3

2

，
∴a=-2，
∴f（x）=-2x³+3x²．
（Ⅱ）令f（x）≤x，即-2x³+3x²-x≤0，
∴x（2x-1）（x-1）≥0，
∴0≤x≤

1

2

或x≥1．
又f（x）≤x在区间[0，m]上恒成立，
∴0＜m≤

1

2

．