Question

设函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R的奇函数．（1）求k的值，判断并证明当a＞

设函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R的奇函数．（1）求k的值，判断并证明当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性．（2）已知f（1）=32，函数g（x）=a2x+a-2x-2f（x），x∈[-1，1]，求g（x）的值域．

Answer 1

（1）∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∴k-1=0，
解得：k=1，
∴f（x）=a^x-a^-x
f′（x）=a^xlna+

lna

ax

=lna（a^x+

1

ax

），
∵a＞1，∴lna＞0，而a^x+

1

ax

＞0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在R上单调递增；
（2）∵f（1）=

3

2

，
∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-

1

2

（舍去）．
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数，
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[-

3

2

，

3

2

]，
令h（t）=t²-2t+2=（t-1）²+1，（t∈[-

3

2

，

3

2

]），
当t=1时，函数取最小值1，
当t=-

3

2

时，函数取最大值

29

4

，
故g（x）的值域为[1，

29

4

]