Question

设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：1e+1e7+1e17+…+1e2n2?1

设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：1e+1e7+1e17+…+1e2n2?1＜1115，n∈N*．

Answer 1

解答：（1）解：∵函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），a＞0．
∴f′（x）=1-aln（x+1）-a，x＞-1，
令f′（x）=1-aln（x+1）-a=0，
得x＝e

1?a

a

?1，
列表，得

x	（-1，e 1?a a ?1）	e 1?a a ?1	（e 1?a a ?1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	极大值	↓

∴f（x）在（-1，e

1?a

a

?1]上单调递增，在[e

1?a

a

?1，+∞）单调递减；
（2）证明：由（1）知，
当a=1时，f（x）在（-1，0]上单调递增，在[0，+∞）上单调递减，
故当x∈（-1，0）∪（0，+∞）时，
恒有f（x）＜f′（0），
即x-（x+1）ln（x+1）＜0，
即ln（x+1）＞

x

x+1

，即e

x

x+1

＜x+1．
取x=

1

2n2

?1∈(?1，0)，n∈N⁺，
则有e

1 2n2 ?1

1 2n2

=e1?2n2
＜（

1

2n2

?1）+1
=

2

4n2

＜

2

4n2?1

=

1

2n?1

?

1

2n+1

，n∈N+，
求和得

1

e

+

1

e7

+

1

e17

+…+

1

e2n2?1

≤

1

e

+(

1

3

?

1

5

)+(

1

5

?

1

7

)+…+(

1

2n?1

?

1

2n+1

)
=

1

e

+

1

3

?

1

2n+1

＜

1

2.5

+

1

3

=

2

5

+

1

3

=

11

15

，n∈N⁺．