已知：如图①，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D在BC的延长线上，联结AD，以AD为一边作△ADE，使点E与点B位于
已知：如图①，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D在BC的延长线上，联结AD，以AD为一边作△ADE，使点E与点B位于直线AD的两侧，且AD=AE，∠DAE=∠BA...
已知：如图①，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D在BC的延长线上，联结AD，以AD为一边作△ADE，使点E与点B位于直线AD的两侧，且AD=AE，∠DAE=∠BAC．（1）如果AE∥BC，请判断四边形ABDE的形状并证明；（2）如图②，设M是BC中点，N是DE中点，联结AM、AN、MN，求证：△ABD∽△AMN；（3）设BD=x，在（2）的前提下，以BC为直径的⊙M与以DE为直径的⊙N存在着哪些位置关系？并求出相应的x的取值范围（直接写出结论）．
展开
1个回答
展开全部
解答：（1）答：四边形ABDE是平行四边形．
证明：如图（1），
∵AB=AC，AD=AE，
∴
=
．
∵∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
∴∠E=∠ACB．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B．
∴∠E=∠B．
∵AE∥BC，
∴∠EAB+∠B=180°．
∴∠EAB+∠E=∠EAB+∠B=180°．
∴AB∥ED．
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）证明：如图（2），
∵AB=AC，M是BC中点，
∴AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=
∠BAC．
同理：AN⊥DE，∠DAN=∠EAN=
∠DAE．
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAM=∠DAN．
∵∠MAN=∠MAC+∠CAD+∠DAN，
∠BAD=∠BAM+∠MAC+∠CAD，
∴∠MAN=∠BAD．
∵△ABC∽△ADE（已证），M是BC中点，N是DE中点，
∴
=
．
∴△AMN∽△ABD．
（3）解：∵AM⊥BC，
∴AM2=AB2-BM2=AD2-MD2．
∵AB=6，BM=2，MD=x-2，
∴AM2=62-22=AD2-（x-2）2．
∴AM=4
，AD=
．
∵△ABC∽△ADE，
∴
=
．
∴AB?DE=AD?BC．
∴6×DE=
×4．
∴DE=
．
∴rN=
．
∵△AMN∽△ABD，
∴
=
．
∴AB?MN=AM?BD．
∴6MN=4
x．
∴MN=
x．
当⊙M与⊙N外切时，MN=rM+rN．
∴
x=2+
．
∴
x-2=
．
∴2
x-6=
．
∴8x2-24
x+36=x2-4x+36．
∴7x2=（24
-4）x．
∵点D在BC的延长线上，
∴x＞4．
∴x=
证明：如图（1），
∵AB=AC，AD=AE，
∴
| AB |
| AD |
| AC |
| AE |
∵∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
∴∠E=∠ACB．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B．
∴∠E=∠B．
∵AE∥BC，
∴∠EAB+∠B=180°．
∴∠EAB+∠E=∠EAB+∠B=180°．
∴AB∥ED．
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）证明：如图（2），
∵AB=AC，M是BC中点，
∴AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=
| 1 |
| 2 |
同理：AN⊥DE，∠DAN=∠EAN=
| 1 |
| 2 |
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAM=∠DAN．
∵∠MAN=∠MAC+∠CAD+∠DAN，
∠BAD=∠BAM+∠MAC+∠CAD，
∴∠MAN=∠BAD．
∵△ABC∽△ADE（已证），M是BC中点，N是DE中点，
∴
| AM |
| AN |
| AB |
| AD |
∴△AMN∽△ABD．
（3）解：∵AM⊥BC，
∴AM2=AB2-BM2=AD2-MD2．
∵AB=6，BM=2，MD=x-2，
∴AM2=62-22=AD2-（x-2）2．
∴AM=4
| 2 |
| x2?4x+36 |
∵△ABC∽△ADE，
∴
| AB |
| AD |
| BC |
| DE |
∴AB?DE=AD?BC．
∴6×DE=
| x2?4x+36 |
∴DE=
| 2 |
| 3 |
| x2?4x+36 |
∴rN=
| 1 |
| 3 |
| x2?4x+36 |
∵△AMN∽△ABD，
∴
| MN |
| BD |
| AM |
| AB |
∴AB?MN=AM?BD．
∴6MN=4
| 2 |
∴MN=
2
| ||
| 3 |
当⊙M与⊙N外切时，MN=rM+rN．
∴
2
| ||
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| x2?4x+36 |
∴
2
| ||
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| x2?4x+36 |
∴2
| 2 |
| x2?4x+36 |
∴8x2-24
| 2 |
∴7x2=（24
| 2 |
∵点D在BC的延长线上，
∴x＞4．
∴x=
| 24 |
