Question

把一边长为60cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）如图1

把一边长为60cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）如图1，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子；①要使折成的长方体盒子的底面积为576cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②设长方体盒子的侧面积为Scm2，试说明：S不可能大于1800cm2．（2）如图2，若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分正好折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为2800cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．

Answer 1

（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm，
则（60-2x）²=576，
即60-2x=±24，
解得x₁=42（不合题意，舍去），x₂=18，
答：剪掉的正方形的边长为18cm；

②侧面积有最大值，
设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm²，
则y与x的函数关系为：y=4（60-2a）a，
即y=-8a²+240a=-8（a-15）²+1800，
∵-8＜0，
∴y有最大值，
即当a=15时，y_最大=1800，
即当剪掉的正方形的边长为15cm时，长方形盒子的侧面积最大为1800cm²；

（2）设剪掉的长方形盒子的高为xcm，则长为60-2x，宽为30-x，
表面积为：2（60-2x）（30-x）+2x（30-x）+2x（60-2x）=2800，
解得：x₁=-40（不合题意，舍去），x₂=10，
即剪掉的长方形盒子的高为10cm，
则长为：60-2x=60-2×10=40（cm），
宽为：30-x=30-10=20（cm），
此时长方体盒子的长为40cm，宽为20cm，高为10cm．