Question

如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证：（1）AE=BD； （2）CM=CN；

如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证：（1）AE=BD； （2）CM=CN； （3）△CMN为等边三角形； （4）MN∥BC．

Answer 1

解答：证明：（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB，
 在△ACE和△DCB中

AC＝DC ∠ACE＝∠DCB CE＝BC

∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；

（2）∵由（1）可知：△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
即∠CAM=∠CDN，
∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°，
 又点A、C、B在同一条直线上，
∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，
即∠DCN=60°，
∴∠ACM=∠DCN，
 在△ACM和△DCN中

∠MAC＝∠NDC AC＝DC ∠ACM＝∠DCN

∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN；

（3）∵由（2）可知CM=CN，∠MCN=60°，
∴△CMN为等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）；

（4）∵△CMN为等边三角形
∴∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°，
∴∠CMN=∠ACM=60°，
∴MN∥BC．