Question

若n是正整数，记1×2×3×…×n=n！，比如1！=1，4！=1×2×3×4=24，等等，若M=1！×2！×3！×4！×5！

若n是正整数，记1×2×3×…×n=n！，比如1！=1，4！=1×2×3×4=24，等等，若M=1！×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！，则M的约数中是完全平方数的共有（　　） A．504个 B．672个 C．864个 D．936个

Answer 1

∵M=1！×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！， ∴M=1×2 8 ×3 7 ×4 6 ×5 5 ×6 4 ×7 3 ×8 2 ×9 1 ， M=2 30 ×3 13 ×5 5 ×7 3 ， 因为每个平方数内含有的每种质因数的次数都是偶次的， 如25=5 2 ，144=2 4 ×3 2 ， 所以2 30 含有的平方数约数有2 0 、2 2 、2 4 …2 30 共16个， 3 13 含有的平方数约数有3 0 、3 2 、3 4 …3 12 共7个， 5 5 含有的平方数约数有5 0 、5 2 、5 4 共3个， 7 3 含有的平方数约数有7 0 、7 2 共2个， 所以M含有平方数约数为16×7×3×2=672， 故选B．