Question

a是实常数，函数f（x）对于任何的非零实数x都有 f( 1 x )=af(x)-x-1，且f(1)=1 ，则不等式f（x

a是实常数，函数f（x）对于任何的非零实数x都有 f( 1 x )=af(x)-x-1，且f(1)=1 ，则不等式f（x）-x≥0的解集为（　　） A． (-∞，- 1 5 ]∪(0，1] B． (-∞，- 1 5 ]∪[1，+∞) C． [- 1 5 ，0∪(0，1] D． [- 1 5 ，0)∪[1，+∞)

Answer 1

因为f（1）=1，所以f（1）=af（1）-2，即a-2=1，解得a=3， 所以f（ 1 x ）=3f（x）-x-1①， 设 1 x =t，得到f（t）=3f（ 1 t ）- 1 t -1，即f（x）=3f（ 1 x ）- 1 x -1②， 将①代入②得：f（x）=3[3f（x）-x-1]- 1 x -1， 化简得：f（x）= 3x 8 + 1 8x + 1 2 ， 代入不等式得： 3x 8 + 1 8x + 1 2 -x≥0， 当x＞0时，去分母得：5x 2 -4x-1≤0，即（5x+1）（x-1）≤0， 解得：- 1 5 ≤x≤1，所以原不等式的解集为（0，1]； 当x＜0时，去分母得：5x 2 -4x-1≥0，即（5x+1）（x-1）≥0， 解得：x≥1或x≤- 1 5 ，所以原不等式的解集为（-∞，- 1 5 ]， 综上，原不等式的解集为（-∞，- 1 5 ]∪（0，1]． 故选A