Question

如图，O为矩形ABCD对角线的交点，过O作EF⊥AC分别交AD、BC于点F、E，若AB=2cm，AC=4cm，BC= 2 3

如图，O为矩形ABCD对角线的交点，过O作EF⊥AC分别交AD、BC于点F、E，若AB=2cm，AC=4cm，BC= 2 3 cm ，求四边形AECF的面积．

Answer 1

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD ∥ BC， ∴∠CAD=∠ACB， ∵EF⊥AC， ∴∠AOE=∠COF=90°， ∵O为矩形ABCD对角线的交点， ∴AO=CO， 在△AOE与△COF中， ∠CAD=∠ACB AO=CO ∠AOE=∠COF=90° ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF， 又∵AD ∥ BC， ∴四边形AECF是平行四边形， 又AO=CO，EF⊥AC， ∴EF垂直平分AC， ∴AF=FC， 设FC=x， 则在Rt△ABF中，BF=BC-FC=2 3 -x， ∴AF 2 =AB 2 +BF 2 ， 即x 2 =2 2 +（2 3 -x） 2 ， 解得x= 4 3 3 ， ∴四边形AECF的面积=FC?AB= 4 3 3 ×2= 8 3 3 cm 2 ． 故答案为： 8 3 3 cm 2 ．