Question

已知边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上， （1）如图1，若AE⊥BF，求证：EA=FB；（2）如图2

已知边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上， （1）如图1，若AE⊥BF，求证：EA=FB；（2）如图2，若∠EAF= , AE的长为 ，试求AF的长度。

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Answer 1

(1)证明见解析；（2） .

试题分析：（1）根据正方形的性质，得到∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，进而得到∠BAE=∠CBF，则△ABE≌△BCF，进一步根据全等三角形的性质进行证明； （2）延长CB至点G，使BG=DF，并连接AG和EF，先证△ABG≌△ADF（SAS），再证△AEG≌△AEF（SAS）；在RT△ABE中，根据勾股定理可求得BE= ，设线段DF长为x，则EF=GE=x+ ，又CE=1- = ，CF=1-x，最终在RT△ECF中，利用勾股定理得( +x) 2 ＝ +(1?x) 2 ，求得x= ，在Rt△ADF中，解得AF＝ . 试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AE⊥BF， ∴∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°， ∴∠BAE=∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE=BF； （2）延长CB至点G，使BG=DF,并连接AG和EF,先证⊿ABG≌⊿ADF（SAS），再证⊿AEG≌⊿AEF（SAS）；在RT⊿ABE中，根据勾股定理可求得BE= ,设线段DF长为x,则EF=GE=x+ ，又CE=1- = ,CF=1－x，最终在RT⊿ECF中，利用勾股定理得 ，求得x＝ ，在 中，解得 考点: 1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.勾股定理．