Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y= （x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y= （x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B。 （1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；（2）求△AOB的面积；（3）Q是反比例函数y= （x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO 半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB。

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Answer 1

解：（1）点P在线段AB上，理由如下： ∵点O在⊙P上，且∠AOB=90°， ∴AB是⊙P的直径， ∴点P在线段AB上；
（2）过点P作PP 1 ⊥x轴，PP 2 ⊥y轴，由题意可知PP 1 、PP 2 是△AOB的中位线， 故S △AOB = OA×OB= ×2PP 1 ×PP 2 ∵P是反比例函数y= （x＞0）图象上的任意一点， ∴S △AOB = OA×OB= ×2PP 1 ×2PP 2 =2PP 1 ×PP 2 =12；
（3）如图，连接MN，则MN过点Q，且S △MON =S △AOB =12， ∴OA·OB=OM·ON， ∴ ， ∵∠AON=∠MOB， ∴△AON∽△MOB， ∴∠OAN=∠OMB， ∴AN∥MB。