Question

设椭圆 的左焦点为F, 离心率为 , 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . (Ⅰ) 求椭圆的方程;

设椭圆 的左焦点为F, 离心率为 , 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若 , 求k的值.





Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)

(Ⅰ)设 ，由 知， ，过点F且与x轴垂直的直线为 ，代入椭圆方程有 ，解得 ，于是 = ，解得 ，又 ，从而 ， ，所以椭圆的方程为 . (Ⅱ)设点 由F(-1,0)得直线CD的方程为 ,代入椭圆方程 消去 ，整理得 ，求解可得 ， ， 因为 ， ，所以 + = = = = ， 由已知得 =8，解得 . 本题第（Ⅰ）问，由于过点F且与x轴垂直的直线为 ，所以代入椭圆方程，并结合离心率即可求出；第(Ⅱ)问，把直线CD的方程代入椭圆方程，然后由韦达定理，平面向量的坐标运算，就可求出结果.在联立方程组以及进行平面向量的运算时，注意计算要细心，联立方程组后，用设而不求的思想. 【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算能力，以及用方程思想解决问题的能力.