Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线AB上的一动点（不和A，B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F．

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线AB上的一动点（不和A，B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F．（1）点D在边AB上时，试探究线段BD，AB和AF的数量关系，并证明你的结论；（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出正确结论．

Answer 1

（1）AB=FA+BD．
证明：如图1，

∵BE⊥CD即∠BEC=90°，∠BAC=90°，
∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．
∴∠FBA=∠FCE．
∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，
∴∠FAB=∠DAC．
在△FAB和△DAC中，

∠FAB＝∠DAC AB＝AC ∠FBA＝∠DCA

．
∴△FAB≌△DAC（ASA）．
∴FA=DA．
∴AB=AD+BD=FA+BD．

（2）（1）中的结论不成立．
点D在AB的延长线上时，AB=AF-BD；点D在AB的反向延长线上时，AB=BD-AF．
理由如下：
①当点D在AB的延长线上时，如图2．

同理可得：FA=DA．
则AB=AD-BD=AF-BD．
②点D在AB的反向延长线上时，如图3．

同理可得：FA=DA．
则AB=BD-AD=BD-AF．