Question

如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD=90

如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD=90°；②M为BC的中点；③AB+CD=AD；④S△ADM＝12S梯形ABCD；⑤M到AD的距离等于BC的一半；其中正确的有（　　）A．2个B．3个C．4个D．5个

Answer 1

过M作ME⊥AD于E，
∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，
∴∠MDE=

1

2

∠CDA，∠MAD=

1

2

∠BAD，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠MDA+∠MAD=

1

2

（∠CDA+∠BAD）=

1

2

×180°=90°，
∴∠AMD=180°-90°=90°，∴①正确；
∵DM平分∠CDE，∠C=90°（MC⊥DC），ME⊥DA，
∴MC=ME，
同理ME=MB，
∴MC=MB=ME=

1

2

BC，∴②正确；
∴M到AD的距离等于BC的一半，∴⑤正确；
∵由勾股定理得：DC²=MD²-MC²，DE²=MD²-ME²，
又∵ME=MC，MD=MD，
∴DC=DE，
同理AB=AE，
∴AD=AE+DE=AB+DC，∴③正确；
∵在△DEM和△DCM中

DE＝DC DM＝DM ME＝MC

，
∴△DEM≌△DCM（SSS），
∴S_三角形DEM=S_三角形DCM
同理S_三角形AEM=S_三角形ABM，
∴S_三角形AMD=

1

2

S_梯形ABCD，∴④正确；
故选D．