Question

设f（x）为定义域为R的函数，对任意x∈R，都满足：f（x+1）=f（x-1），f（1-x）=f（1+x），且当x∈[0，1]

设f（x）为定义域为R的函数，对任意x∈R，都满足：f（x+1）=f（x-1），f（1-x）=f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）=3x-3-x．（1）请指出f（x）在区间[-1，1]上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；（2）试证明f（x）是周期函数，并求其在区间[2k-1，2k]（k∈Z）上的解析式．

Answer 1

（1）偶函数；．（1分）  最大值为

8

3

、最小值为0；..（1分）
单调递增区间：[0，1]；单调递减区间：[-1，0]；（1分）
零点：x=0．（1分）
单调区间证明：
当x∈[0，1]时，f（x）=3^x-3^-x．
设x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，f(x1)?f(x2)＝(3x1?3x2)+(

3x1?3x2

3x1?3x2

)=(3x1?3x2)(1+

1

3x1?3x2

)
证明f（x）在区间[0，1]上是递增函数
由于函数y=3^x是单调递增函数，且3^x＞0恒成立，
所以3x1?3x2＜0，1+

1

3x1?3x2

＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0
所以，f（x）在区间[0，1]上是增函数．（4分）
证明f（x）在区间[-1，0]上是递减函数
【证法一】因为f（x）在区间[-1，1]上是偶函数．
对于任取的x₁，x₂∈[-1，0]，x₁＜x₂，有-x₁＞-x₂＞0f（x₁）-f（x₂）=f（-x₁）-f（-x₂）＞0
所以，f（x）在区间[-1，0]上是减函数（4分）
【证法二】设x∈[-1，0]，由f（x）在区间[-1，1]上是偶函数，得f（x）=f（-x）=3^-x-3^x．
以下用定义证明f（x）在区间[-1，0]上是递减函数..（4分）
（2）设x∈R，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）-1]=f（x），
所以，2是f（x）周期．（4分）
当x∈[2k-1，2k]时，2k-x∈[0，1]，
所以f（x）=f（-x）=f（2k-x）=3^2k-x-3^x-2k..（4分）