Question

如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧BC的中点，连接AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC

如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧BC的中点，连接AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E．（Ⅰ）求证：OE=12AC；（Ⅱ）求证：PDPA=BD2AC2．





Answer 1

（Ⅰ）证明：因为AB为⊙O直径，
所以∠ACB=90°，即 AC⊥BC，
因为D是弧

BC

的中点，由垂径定理
得OD⊥BC，因此OD∥AC  （3分）
又因为点O为AB的中点，所以点E为
BC的中点，所以OE=

1

2

AC  （2分）
（Ⅱ）证明：连接CD，因为PC是⊙O的切线，
所以∠PCD=∠CAP，
又∠P是公共角，
所以△PCD∽△PAC．
得

PC

PA

＝

PD

PC

＝

CD

AC

，
∴

PC

PA

×

PD

PC

＝

CD

AC

×

CD

AC

，
∴

PD

PA

＝

CD2

AC2

． （3分）
因为D是弧

BC

的中点，所以CD=BD，因此

PD

PA

＝

BD2

AC 2

．   （2分）