Question

将二重积分?Df（x，y）dxdy表示为极坐标下的二次积分，其中D={（x，y）|（x2+y2）≥x2-y2，0≤y≤2x?x2，

将二重积分?Df（x，y）dxdy表示为极坐标下的二次积分，其中D={（x，y）|（x2+y2）≥x2-y2，0≤y≤2x?x2，0≤x≤1}．

Answer 1

由于区域D={（x，y）|（x²+y²）≥x²-y²，0≤y≤

2x?x2

，0≤x≤1}．
而（x²+y²）²=x²-y²在极坐标系下为双纽线ρ²=cos2θ，y＝

2x?x2

在极坐标系下为圆ρ=2cosθ，
因此区域D为双纽线ρ²=cos2θ之外，圆ρ=2cosθ以内，且相应于0≤x≤1的范围
∴D＝{(r，θ)|0≤θ≤

π

4

，

cos2θ

≤r≤

1

cosθ

}+{(r，θ)|

π

4

≤θ≤

π

2

，0≤r≤2cosθ}
∴

∫∫

D

f(x，y)dxdy＝

∫

π 4 0

dθ

∫	1 cosθ cos2θ

f(rcosθ+rsinθ)rdr+

∫

π 2 π 4

dθ

∫

2cosθ 0

f(rcosθ+rsinθ)rdr