Question

设A，B是可换的n阶实对称矩阵，且A，B，A+B都可逆，证明：（A+B）-1≠A-1+B-1

设A，B是可换的n阶实对称矩阵，且A，B，A+B都可逆，证明：（A+B）-1≠A-1+B-1．

Answer 1

证明：由A，B可逆，
知A^-1+B^-1=A^-1（A+B）B^-1
由已知A+B可逆，
∴A^-1+B^-1可逆（可逆矩阵的乘积仍可逆），且
（A^-1+B^-1）^-1=[A^-1（A+B）B^-1]^-1=B（A+B）^-1A
∴（A+B）^-1=B^-1（A^-1+B^-1）^-1A^-1≠A^-1+B^-1．