Question

如图，在四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，△ADE≌△CBF，过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G．（1

如图，在四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，△ADE≌△CBF，过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）求证：DE∥BF；（3）当四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵△ADE≌△CBF，
∴AD=BC，AE=CF，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
即AB=2AE，CD=2CF，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）∵△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，AE=CF，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF=CF，AE=BE，
∵AB=CD，
∴DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF；

（3）四边形AGBD是矩形．
证明：连接EF，
∵AD∥BC，AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AE=BE=CF=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BD⊥EF，
∴AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴四边形AGBD是矩形．