Question

已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.718 28…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的

已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.718 28…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，证明：e-2＜a＜1．

Answer 1

（1）由f（x）=e^x-ax²-bx-1，得g（x）=f′（x）=e^x-2ax-b，所以g′（x）=e^x-2a．
当x∈[0，1]时，g′（x）∈[1-2a，e-2a]．
当a≤

1

2

时，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上单调递增，
因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；
当a≥

e

2

时，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上单调递减，
因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b；
当

1

2

＜a＜

e

2

时，令g′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），
所以函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间（ln（2a），1]上单调递增，
于是，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b．
综上所述，当a≤

1

2

时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；
当

1

2

＜a＜

e

2

时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b；
当a≥

e

2

时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b．…（5分）
（2）证明：设x₀为f（x）在区间（0，1）内的一个零点，则由f（0）=f（x₀）=0可知，
f（x）在区间（0，x₀）上不可能单调递增，也不可能单调递减．
则g（x）不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g（x）在区间（0，x₀）内存在零点x₁．
同理g（x）在区间（x₀，1）内存在零点x₂．故g（x）在区间（0，1）内至少有两个零点，
由（1）知，当a≤

1

2

时，g（x）在[0，1]递增，故g（x）在（0，1）内至多有1个零点，
当a≥

e

2

时，g（x）在[0，1]递减，故g（x）在（0，1）内至多有1个零点，都不合题意，
所以

1

2

＜a＜

e

2

，
此时，g（x）在区间[0，ln（2a）]递减，在区间（ln（2a），1）递增，
因此x₁∈（0，ln（2a）），x₂∈（ln（2a），1），必有：g（0）=1-b＞0，g（1）=e-2a-b＞0，
由f（1）=0，得a+b=e-1＜2，有g（0）=a-e+2＞0，g（1）=1-a＞0，解得：e-2＜a＜1，
所以函数f（x）在区间（0，1）内有零点时，e-2＜a＜1．