Question

已知函数f（x）=ax-ex（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=x2-2x+1，证明：当1＜a＜e时

已知函数f（x）=ax-ex（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=x2-2x+1，证明：当1＜a＜e时，对任意x1∈（-∞，+∞），总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2）成立．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=a-e^x，
当a≤0时，f'（x）＜0，所以，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
当a＞0时，由f'（x）=0，得x=lna．
在区间（-∞，lna）上，f'（x）＞0，在区间（lna，+∞）上f'（x）＜0
所以，函数f（x）的单调递增区为（-∞，lna），单调递减区间为（lna，+∞）
所以，当a≤0时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，lna），单调递减区间为（lna，+∞）
（Ⅱ）证明：由已知，转化为f（x）_max＜g（x）_max，由已知可知g（x）_max=g（0）=1，
当1＜a＜e时，f（x）在（-∞，lna）上单调递增，在（lna，+∞）上单调递减，
故f（x）的极大值即为最大值，f（lna）=alna-a，
而1＜a＜e，故f（lna）=alna-a=a（lna-1）＜0，
所以1＞alna-a，故命题成立．