Question

在n个人的班级中，选出m个人参加大扫除，其中k个人擦窗户，其他人拖地板．现有两种方法选择人选：①先从

在n个人的班级中，选出m个人参加大扫除，其中k个人擦窗户，其他人拖地板．现有两种方法选择人选：①先从班级中选出m人，现从他们当中选出k个人擦窗户．②先从班级中选出k个人擦窗户，再从班级剩下的人中选出m-k人拖地板．（1）写出每种方法中选人方案数的数学表达式．（2）你认为这两种方法选人的方案数相等吗？若相等，试证明之；若不相等请说明理由．

Answer 1

解（1）对于第一种方法：先从班级中选出m人，有

C

m n

种方法，再从这m人中选出k个人擦窗户，有

C

k m

种方法，则第一种方法的选人方案数为

C

m n

C

k m

；
对于第二种方法：先从班级中选出k个人擦窗户，有

C

k n

种方法，再从班级剩下的人中选出m-k人拖地板，有

C

m?k n?k

种方法，则第二种方法选人方案数为

C

k n

C

m?k n?k

；
故第一种方法的选人方案数为

C

m n

C

k m

；第二种方法选人方案数为

C

k n

C

m?k n?k

；
（2）这两种方法的选人方案数相等，即

C

m n

C

k m

=

C

k n

C

m?k n?k

；
证明如下：
左边=

n!

m!(n?m)!

×

m!

k!(m?k)!

=

n!

m!×(n?m)!×(m?k)!

；
右边=

n!

k!(n?k)!

×

(n?k)!

(m?k)!(n?m)!

=

n!

m!×(n?m)!×(m?k)!

；
左边=右边；
即两种方法选人的方案数相等．