设函数f(x)=alnx+1-a2x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,(1)求b;(2)

设函数f(x)=alnx+1-a2x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<aa-1,... 设函数f(x)=alnx+1-a2x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<aa-1,求a的取值范围. 展开
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呵呵哈亿
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(1)f′(x)=
a
x
+(1-a)x-b
(x>0),
∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,
∴f′(1)=a+(1-a)×1-b=0,解得b=1.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)可知:f(x)=alnx+
1-a
2
x2-x

f(x)=
a
x
+(1-a)x-1
=
(1-a)
x
(x-
a
1-a
)(x-1)

①当a
1
2
时,则
a
1-a
≤1

则当x>1时,f′(x)>0,
∴函数f(x)在(1,+∞)单调递增,
∴存在x0≥1,使得f(x0)<
a
a-1
的充要条件是f(1)<
a
a-1
,即
1-a
2
-1<
a
a-1

解得-
2
-1<a<
2
-1

②当
1
2
a<1时,则
a
1-a
>1

则当x∈(1,
a
1-a
)
时,f′(x)<0,函数f(x)在(1,
a
1-a
)
上单调递减;
当x∈(
a
1-a
,+∞)
时,f′(x)>0,函数f(x)在(
a
1-a
,+∞)
上单调递增.
∴存在x0≥1,使得f(x0)<
a
a-1
的充要条件是f(
a
1-a
)<
a
a-1

f(
a
1-a
)
=aln
a
1-a
+
a2
2(1-a)
+
a
a-1
a
a-1
,不符合题意,应舍去.
③若a>1时,f(1)=
1-a
2
-1=
-a-1
2
a
a-1
,成立.
综上可得:a的取值范围是(-
2
-1,
2
-1)∪(1,+∞)
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