Question

在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，AB=2，∠DAB=60°，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为正三角形，E为AD

在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，AB=2，∠DAB=60°，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为正三角形，E为AD中点，M为线段PC上的一点．（1）若M为PC中点，求证：ME∥平面PAB；（2）若二面角M-EB-C的平面角为60°，求直线AB与平面MEB所成角的余弦值．

Answer 1

（1）取BC的中点M，连接MN，NE，
∵MN∥PB，MN?平面PAB，PB?平面PAB，
∴MN∥平面PAB
∵EN∥AB，EN?平面PAB，AB?平面PAB，
∴NE∥平面PAB，又MN∩NE=N
∴平春伍面MNE∥平面PAB，ME?平面MNE
∴MN∥平面PAB
（2）连接PE，∵△PAD为正三角形，∴PE⊥AD，
∵四边形ABCD为菱形，AB=2，∠DAB=60°，E为AD的中点，AE=1，∴BE⊥AD，
建立空间直角坐标系如图，得E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，

3

，0），D（-1，0，0），P（0，0，

3

），C（-2，

3

，0），
设

PM

=λ

PC

=（-2λ，

3

λ，-

3

λ），∴M（-2λ，

3

λ，-

3

λ+

3

），

EM

=（-2λ，

3

λ，-

3

λ+

3

）

EB

=（0，

3

，0），设平慧蠢面MEB的法向量

n

=（a，b，c），扒碧或
由

EB

?

n

=

3

b=0?b=0，由

EM

?

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