Question

如图，已知抛物线L1：y1=34x2，平移后经过点A（-1，0），B（4，0）得到抛物线L2，与y轴交于点C．（1）求

如图，已知抛物线L1：y1=34x2，平移后经过点A（-1，0），B（4，0）得到抛物线L2，与y轴交于点C．（1）求抛物线L2的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）设抛物线L₂的解析式为y=

3

4

x²+bx+c，经过点A（-1，0），B（4，0），根据题意，得

3 4 ?b+c＝0 12+4b+c＝0

，
解得

b＝? 9 4 c＝?3

∴抛物线L₂的解析式为y=

3

4

x²-

9

4

x-3．

（2）△ABC的形状是等腰三角形．
理由：根据题意，得C（0，-3），
∵AB=4-（-1）=5，BC=

42+32

=5，AC=

12+32

=

10

，
∴△ABC的形状是等腰三角形．

（3）存在PD=2OC．
设P（a，

3

4

a²-

9

4

a-3），D（a，

3

4

a²），
根据题意，得PD=|

3

4

a²-

9

4

a-3-

3

4

a²|=|

9

4

a+3|，OC=3，
当|

9

4

a+3|=6时，解得a₁=

4

3

，a₂=-4．
∴P₁（

4

3

，

14

3

），P₂（-4，18）．