Question

已知椭圆C1：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，其中F2也是抛物线C2：y2＝4x的焦点，M是C1

已知椭圆C1：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，其中F2也是抛物线C2：y2＝4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且MF2＝53．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）已知点A（1，m）（m＞0）是椭圆C1上一点，E，F是椭圆C1上的两个动点，若直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，探求直线EF的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设M（x₁，y₁），
由抛物线C2：y2＝4x的方程，得焦点（1，0），
∴F₂（1，0），又|MF2|＝

5

3

．
由抛物线定义，x1+1＝

5

3

，∴x1＝

2

3

，
∵

y

2 1

＝4x1，∴y1＝

2 6

3

，∴M(

2

3

，

2 6

3

)，
∵M点C₁上，∴

4

9a2

+

8

3b2

＝1，又b2＝a2?1，
∴9a²-37a²+4=0，∴a²=4或a2＝

1

9

．
而a2＝

1

9

＜1＝c2，应舍去．
∴a²=4，b²=3，
∴椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．
（Ⅱ）把A（1，m）（m＞0）代入椭圆的方程得

1

4

+

m2

3

＝1，解得m＝

3

2

，∴A(1，

3

2

)．
设直线AE的方程为