Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有f(x1)?f(x2)x1?x2＞0．给出下列命题：①函数f（x）一定是周期函数；②函数f（x）在区间[-6，-4]上为增函数；③直线x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴；④函数f（x）在区间[-6，6]上有且仅有4个零点．其中正确命题的个数是（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

对于①，∵对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，
∴令x=-2，则f（2）=f（-2）+f（2），
∴f（-2）=0，又函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（2）=0，
∴f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）是周期为4的函数，故①正确；
对于②，∵x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂时，都有

f(x1)?f(x2)

x1?x2

＞0，
∴偶函数y=f（x）在区间[0，2]上是增函数，在[-2，0]上是减函数，又其周期为4，
∴函数f（x）在区间[-6，-4]上为减函数，故②错误；
对于③，∵y=f（x）为偶函数，∴直线x=0（即y轴）是函数f（x）图象的一条对称轴，又函数f（x）是周期为4的函数，
∴直线x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴，故③正确；
对于④，∵f（-2）=f（2）=0，函数f（x）是周期为4的函数，
∴f（-6）=f（-2）=0，f（6）=f（2）=0，又y=f（x）在区间[-6，-4]，[-2，0]，[2，4]上均为减函数；
在区间[-4，-2]，[0，2]，[4，6]上是增函数，
∴函数f（x）在区间[-6，6]上有且仅有4个零点，故④正确．
综上所述，正确命题的个数是3个，
故选：C．