Question

已知点F1，F2是椭圆的两个焦点。点P在椭圆上，∠F1PF2=60度，求椭圆离心率的取值范围

Answer 1

余弦定理：
F1F2^2 = F1P^2 + F2P^2 - 2F1P*F2Pcos ∠F1PF2
F1F2 = 2c
而 F1P + F2P = 2a,
所以 F1P^2 + F2P^2 = （F1P + F2P)^2 - 2F1P*F2P = 4a^2 - 2F1P*F2P
所以 4c^2 = 4a^2 - 2F1P*F2P - F1P*F2P (因为 cos 60度 =1/2）
= 4a^2 - 3F1P*F2P
所以 3F1P*F2P = 4(a^2 - c^2)
因为 F1P*F2P <= (F1P+F2P)^2/4 = a^2 （二次不等式）
所以 4(a^2 - c^2) <= 3a^2
所以 a^2 <= 4c^2, 1/4 <= (c/a)^2 = e^2
所以 e>= 1/2
又因为 e<1
所以 1/2 <= e < 1