Question

给出一组式子：3 2 +4 2 =5 2 ，5 2 +12 2 =13 2 ，7 2 +24 2 =25 2 ，9 2 +40 2 =41 2 ，11 2 +60 2 =61

给出一组式子：3 2 +4 2 =5 2 ，5 2 +12 2 =13 2 ，7 2 +24 2 =25 2 ，9 2 +40 2 =41 2 ，11 2 +60 2 =61 2 ，…（1）请你观察给出的式子，找出一些规律并写出，运用所发现的规律给出第10个式子，并利用计算器验证所得式子的正确性；（2）已知：2003 2 +p 2 =q 2 ，其中p，q为连续正整数，且q=p+1，用较为简便的方法写出p和q的值，并利用计算器验证它的正确性．

Answer 1

（1）①这些式子每个都呈a 2 +b 2 =c 2 （a，b，c为正整数）的形式．②每个等式中a是奇数，b为偶数（实际上还是4的倍数），c奇数．③c=b+1．④各个式子中，a的取值依次为3，5，7，9，11，是连续增大的奇数．⑤各个式子中，b的取值依次为4，12，24，40 猜想：第10个式子为21 2 +220 2 =221 2 （2）∵2003 2 +p 2 =q 2 ，q=p+1， ∴2003 2 =q 2 -p 2 =（p+1） 2 -p 2 =2p+1 ∴p=（2003 2 -1）÷2=2006004 ∴q=p+1=2006005．