Question

定义在R上的函数f（x）满足，对任x、y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（2）=4

定义在R上的函数f（x）满足，对任x、y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（2）=4，则f（x）在[-2012，-100]上的最大值为______．

Answer 1

令x=y=0得：f（0+0）=f（0）+f（0）， ∴f（0）=0； 令y=-x得f（-x）+f（x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）， ∴y=f（x）为奇函数； ∵当x＞0时，f（x）＞0， ∴当x 1 ＜x 2 时，x 2 -x 1 ＞0，f（x 2 ）-f（x 1 ）=f（x 2 ）+f（-x 1 ）=f（x 2 -x 1 ）＞0， ∴y=f（x）在R上单调递增． ∴f（x）在[-2012，-100]上的最大值为f（-100）． ∵f（2）=4， ∴f（-2）=-4， ∴f（-2-2）=f（-2）+f（-2）=2f（-2）=-4，即f（-4）=-8， 同理可得f（-6）=3f（-2）=-12 …， f（-2n）=nf（-2）， ∴f（-100）=50f（-2）=-200． ∴f（x）在[-2012，-100]上的最大值为-200． 故答案为：-200．