Question

如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连接AB并延长交⊙O2于点C，连接O2C．

如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连接AB并延长交⊙O2于点C，连接O2C．如果AB?BC=16，O2C=5，则tan∠AO1O2的值为（　　）A．158B．53C．54D．1513

Answer 1

延长O₂O₁交⊙O₁于点D，连接AD．
∵O₁A为切线，
∴∠O₁AB+∠BAO₂=90°，
又∵AO₂=O₂C，
∴∠BAO₂=∠C，
又∵AO₁=BO₁，
∴∠O₁AB=∠ABO₁=∠CBO₂，
∴∠CBO₂+∠C=90°，
∴∠BO₂C=90°，
∴O₂C⊥O₁O₂；
∵BD是⊙O₁直径，
∴∠BAD=90°．
∵∠BO₂C=90°，
∴∠BAD=∠BO₂C，又∠ABD=∠O₂BC，
∴△O₂BC∽△ABD，

O2B

AB

＝

BC

BD

，
∴AB?BC=O₂B?BD又BD=2BO₁，
∴AB?BC=2O₂B?BO₁．
∵∠D=∠C=∠O₂AB，即∠D=∠O₂AB，又∠AO₂B=∠DO₂A，
∴△AO₂B∽△DO₂A，
∴

AO2

DO2

＝

O2B

O2A

，
∴AO²₂=O₂B?O₂D，
∵O₂C=O₂A，
∴O₂C²=O₂B?O₂D①，
又∵AB?BC=O₂B?BD②，
由①-②得O₂C²-AB?BC=O₂B²即5²-16=O₂B²，
∴O₂B=3又O₂B?BD=AB?BC=16，
∴BD=

16

3

，
∴2AO₁=BD=

16

3

，
∴AO₁=

8

3

，
∴tan∠AO₁O₂=

AO 2

AO 1

=

5

8 3

=

15

8

，
故选A．