Question

已知F1、F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2=120°，

已知F1、F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2=120°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是______．

Answer 1

如图，F₁、F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
P为双曲线上的一点，若∠F₁PF₂=120°，
且△F₁PF₂的三边长成等差数列，
∵|PF₂|-|PF₁|=2a，|F₁F₂|=2c，
∴|PF₂|=2c-2a，|PF₁|=2c-4a，
∵∠F₁PF₂=120°，
∴由余弦定理，得：
cos120°=

(2c?4a)2+(2c?2a)2?(2c)2

2(2c?2a)(2c?4a)

，
整理，得7a²+2c²-9ac=0，
∴2e²-9e+7=0，解得e=

7

2

或e=1（舍）．
故答案为：

7

2

．