Question

已知函数f（x）=lnxa，g（x）=x?aax，a＞0．（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0，

已知函数f（x）=lnxa，g（x）=x?aax，a＞0．（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0，求a的值；（2）证明：当x＞a时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方；（3）当a=1时，设曲线C：h（x）=f（x）-e[1+x?g（x）]（e为自然对数的底数），h′（x）表示h（x）的导函数，求证：对于曲线C上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，存在唯一的x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于h′（x0）．

Answer 1

（1）解：∵f（x）=ln

x

a

，
∴f′（x）=

1

x

，
∴f′（1）=1，
∵f（1）=ln

1

a

，
∵曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0，
∴1-ln

1

a

-1=0，
∴a=1；
（2）解：令φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-lna-

x?a

ax

（x＞a＞0），则φ′（x）=-

( x ? a )2

2x ax

＜0，
∴φ（x）在（a，+∞）上单调递减，且φ（a）=0，
∴x＞a时，φ（x）＜φ（a）=0，即f（x）＜g（x），
∴当x＞a时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方；
（3）证明：由题意，h（x）=lnx-ex，
若存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于h′（x₀），
则

1

x0

-e=

lnx2?lnx1?e(x2?x1)

x2?x1

，
∴x₀ln

x2

x1

-（x₂-x₁）=0，
设F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁），则F（x）是关于x的一次函数，
∴只需证明F（x）在（x₁，x